Cho hàm số $\left( C \right):y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}$. Đường thẳng $d:y = x + m$ với $m<0$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ phân biệt và $AB = 2\sqrt 2$ khi $m$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau đây?

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}} = x + m \Rightarrow x - 2 = {x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m \Rightarrow {x^2} + mx + m + 2 = 0,x \ne  - 1$

Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta  = {m^2} - 4m - 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2 + 2\sqrt 3 \\m < 2 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m < 2 - 2\sqrt 3$ (vì $m<0$)

Với $A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)$ thì $AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt {2{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}$ với $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - m\\{x_1}{x_2} = m + 2\end{array} \right.$

Mà $AB = 2\sqrt 2$ nên $\sqrt {2{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 8$ $\Leftrightarrow x_2^2 - 2{x_2}{x_1} + x_1^2 = 4$ $\Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_2}{x_1} = 4$ $\Rightarrow {m^2} - 4\left( {m + 2} \right) = 4$ $\Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6(L)\\m =  - 2(TM)\end{array} \right.$