Cho hai mạch dao động $LC$ có cùng tần số. Điện tích cực đại của tụ ở mạch thứ nhất và thứ hai lần lượt là ${Q_1}$ và ${Q_2}$ thỏa mãn ${Q_1} + {\rm{ }}{Q_2} = {\rm{ }}{8.10^{ - 6}}$. Tại một thời điểm mạch thứ nhất có điện tích và cường độ dòng điện là ${q_1}$ và ${i_1}$, mạch thứ hai có điện tích và cường độ dòng điện là ${q_2}$ và ${i_2}$ thỏa mãn ${q_1}{i_2} + {\rm{ }}{q_2}{i_1} = {\rm{ }}{6.10^{ - 9}}$. Giá trị nhỏ nhất của tần số dao động ở hai mạch là:

$63,66{\rm{ }}Hz$

$76,39{\rm{ }}Hz$

$38,19{\rm{ }}Hz$

$59,68{\rm{ }}Hz$

Xem đáp án

130 lượt xem

Bài tập dao động và sóng điện từ hay và khó - MÔN LÝ - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: d

- Cách 1:

Gọi độ lệch pha giữa ${q_1}$ và ${q_2}$ là $\Delta \varphi $, tại thời điểm ${q_1} = 0$ thì ${i_1} = {I_{01}} = \omega {Q_{01}}$ và ${q_2} = {Q_{02}}{\rm{cos}}\left( {\Delta \varphi } \right)$

Thay vào phương trình ${q_1}{i_2} + {\rm{ }}{q_2}{i_1} = {\rm{ }}{6.10^{ - 9}}$ ta có:

${Q_1}{Q_2}\omega c{\rm{os}}\Delta \varphi {\rm{ = 6}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ - 9}}}} \Rightarrow \omega = \dfrac{{{{6.10}^{ - 9}}}}{{{Q_1}{Q_2}.c{\rm{os}}\Delta \varphi }}$

Mặt khác ta có:

${Q_1} + {Q_2} \geqslant 2\sqrt {{Q_1}{Q_2}} \Rightarrow {Q_1}{Q_2} \leqslant \dfrac{{{{\left( {{Q_1} + {Q_2}} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{\left( {{{8.10}^{ - 6}}} \right)}^2}}}{4} = 1,{6.10^{ - 11}}$

Lại có: $\left| {c{\rm{os}}\Delta \varphi } \right| \le 1$

$ \to \omega \ge \dfrac{{{{6.10}^{ - 9}}}}{{{{1,6.10}^{ - 11}}}} = 375$ (1)

Thêm vào đó, ta có: $\omega = 2\pi f \to f = \dfrac{\omega }{{2\pi }}$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $f \geqslant \dfrac{{375}}{{2\pi }} = 59,68Hz$

- Cách 2:

Ta có: ${Q_1}.{Q_2} = \sqrt {q_1^2 + {{\left( {\dfrac{{{i_1}}}{\omega }} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\dfrac{{{i_2}}}{\omega }} \right)}^2} + q_2^2} \geqslant \dfrac{{{q_1}{i_2}}}{\omega } + \dfrac{{{q_2}{i_1}}}{\omega } = \dfrac{{{{6.10}^{ - 9}}}}{\omega }(1)$ (bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

Mà $\dfrac{{{Q_1} + {Q_2}}}{2} \ge \sqrt {{Q_1}.{Q_2}} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{Q_1} + {Q_2}}}{2}} \right)^2} \ge {Q_1}.{Q_2} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{{8.10}^{ - 6}}}}{2}} \right)^2} \ge {Q_1}.{Q_2}(2)$ (bất đẳng thức Cô-si)

Từ (1) và (2) =>${\left( {\dfrac{{{{8.10}^{ - 6}}}}{2}} \right)^2} \ge \dfrac{{{{6.10}^{ - 9}}}}{\omega } \Rightarrow \omega \ge \dfrac{{{{4.6.10}^{ - 9}}}}{{{{64.10}^{ - 12}}}} = 375(rad/s)$

Thêm vào đó, ta có: $\omega = 2\pi f \to f = \dfrac{\omega }{{2\pi }}$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $f \ge \dfrac{{375}}{{2\pi }} = 59,68Hz$

Hướng dẫn giải:

- Cách 1:

+ Vận dụng biểu thức: $i = q'$

+ Viết phương trình điện tích, cường độ dòng điện

+ Sử dụng bất đẳng thức Cô – si

+ Sử dụng điều kiện của hàm số cos $\left| {{\rm{cosx}}} \right| \le 1$

+ Sử dụng biểu thức liên hệ giữa tần số góc và tần số: $\omega = 2\pi f$

- Cách 2: Sử dụng công thức vuông pha của q và i trong dao động LC kết hợp với bất đẳng thức Cô –si và Bu – nhi – a – cốp – xki để nhận xét