Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục trên [0;1] và \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{{18}}\), \(\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{{36}}\). Giá trị của \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Xét \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow I = f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{36}} = - \dfrac{1}{{18}} - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{{18}} - \dfrac{1}{{36}} = - \dfrac{1}{{12}}.\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).