Cho đường thẳng \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0\) \((d)\).

Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \((d)\) là lớn nhất.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\). Đường thẳng qua \(O\) có phương trình: \(y = ax\) do \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \dfrac{1}{2} = a.\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow OI:y = x\).

Đường thẳng \((d)\) được viết lại như sau: \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - 3m} \right)y =  - mx + 1 - m\).

+ Nếu \(m = \dfrac{2}{3}\) thì đường thẳng \((d):x - \dfrac{1}{2} = 0\) song song với trục \(Oy\) nên khoảng cách từ \(O\) đến \((d)\) là \(\dfrac{1}{2}\).

+ Nếu \(m \ne \dfrac{2}{3}\) đường thẳng \((d)\) có thể viết lại: \(y = \dfrac{m}{{3m - 2}}x + \dfrac{{m - 1}}{{3m - 2}}\).

Điều kiện để \((d) \bot OI\) là \(\dfrac{m}{{3m - 2}}.1 =  - 1 \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).

Khi đó khoảng cách \(OI = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Nhận thấy $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}>\dfrac{{1}}{2}$ nên khoảng cách lớn nhất cần tìm là $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ khi \(m = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.