Cho \(\Delta ABC\), các tia phân giác của góc \(B\) và \(A\) cắt nhau tại điểm \(O.\) Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) tại \(M,\) cắt \(AC\) ở \(N.\) Cho \(BM = 3cm,CN = 4cm.\) Tính \(MN?\)

Vì O là giao điểm của hai tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {CAB}\) (gt)

nên CO là phân giác của \(\widehat {ACB}\) (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {ACO} = \widehat {BCO}\left( 1 \right)\) (tính chất tia phân giác của một góc)

BO là phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {OBC}\left( 2 \right)\) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì MN // BC (gt) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {MOB} = \widehat {OBC}\left( 3 \right)\\\widehat {NOC} = \widehat {OCB}\left( 4 \right)\end{array} \right.\) (so le trong )

Từ (1) và (4) \( \Rightarrow \widehat {NOC} = \widehat {ACO} \Rightarrow \Delta NOC\) cân tại N (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow NO = NC = 4cm\) (định nghĩa tam giác cân)

Từ (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {MOB} = \widehat {OBA} \Rightarrow \Delta MOB\) cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow MO = BM = 3cm\) (định nghĩa tam giác cân)

\( \Rightarrow MN = MO + ON = 3 + 4 = 7cm.\)