Cho các số thực dương phân biệt \(a\) và \(b\). Biểu thức thu gọn của biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\) có dạng \(P = m\sqrt[4]{a} + n\sqrt[4]{b}\), tìm \(m.n\).
Trả lời bởi giáo viên
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\P = \dfrac{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{2\sqrt[4]{a}.\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[4]{a}.\sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\P = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \dfrac{{2\sqrt[4]{a}.\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\P = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - 2\sqrt[4]{a}\\P = \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a}\end{array}\)
\( \Rightarrow m = - 1,\,\,n = 1\).
Vậy \(m.n = - 1\).
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng công thức \(\sqrt a = {\left( {\sqrt[4]{a}} \right)^2}\), áp dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\).
- Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức.
- Đồng nhất hệ số tìm \(m,\,\,n\).