Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữa tỷ của biểu thức $\sqrt[3]{{{a}^{5}}\sqrt[4]{a}}$ với $a>0$.

Cho $a > 0$, $b > 0$, giá trị của biểu thức $T = 2{\left( {a + b} \right)^{ - 1}}.{\left( {ab} \right)^{\dfrac{1}{2}}}.{\left[ {1 + \dfrac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\dfrac{a}{b}}  - \sqrt {\dfrac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\dfrac{1}{2}}}$bằng

Cho số thực $a > 0$ và $a \ne 1.$ Hãy rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {a^{\frac{5}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{7}{{12}}}} - {a^{\frac{{19}}{{12}}}}} \right)}}.$

Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}$ với $a>0,$ ta được kết quả $A={{a}^{\frac{m}{n}}},$ trong đó $m,\,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho biểu thức $P = \sqrt[5]{{{x^3}\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt x }}}}$ với $x > 0.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho $a>0,b>0$ và biểu thức $T=2{{\left( a+b \right)}^{-1}}.{{\left( ab \right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left[ 1+\frac{1}{4}{{\left( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{1}{2}}}$. Khi đó:

Rút gọn biểu thức $P=\sqrt{a.\sqrt[3]{{{a}^{2}}.\sqrt[4]{\frac{1}{a}}}}:\sqrt[24]{{{a}^{7}}},\ \ \left( a>0 \right)$ ta được biểu thức dạng ${{a}^{\frac{m}{n}}},$ trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,\ \ n\in {{N}^{*}}.$ Tính giá trị ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}.$