Cho các phát biểu sau:

(I). Nếu \(C = \sqrt {AB} \) thì \(2\ln C = \ln A + \ln B\) với $A, B$ là các biểu thức luôn nhận giá trị dương.

(II). \(\left( {a - 1} \right){\log _a}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) với \(a > 0,a \ne 1\)

(III). \({m^{{{\log }_a}m}} = {n^{{{\log }_a}n}},\) với \(m,n > 0\) và \(a > 0,a \ne 1\)        

(IV).\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\log _{\frac{1}{2}}}x =  - \infty \)

Số phát biểu đúng là

Ta có ${C^2} = AB \Rightarrow {{\mathop{\rm lnC}\nolimits} ^2} = {\mathop{\rm \ln (AB)}\nolimits}  \Rightarrow 2\ln C = \ln A + \ln B$ nên I đúng

Ta có $\left( {a - 1} \right){\log _a}x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1 > 0}\\{{{\log }_a}x \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1 < 0}\\{{{\log }_a}x \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. $ $\Leftrightarrow x\ge 1$ suy ra II đúng.

Logarit cơ số $m$ hai vế ta được ${\log _a}m.{\log _m}m \ne {\log _a}n.{\log _m}n$ suy ra III sai

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\log _{\frac{1}{2}}}x =  - \infty $ đúng nên IV đúng.

Vậy có \(3\) phát biểu đúng.