Cho ${\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^n}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho \(a > 0\), \(b > 0\), giá trị của biểu thức \(T = 2{\left( {a + b} \right)^{ - 1}}.{\left( {ab} \right)^{\dfrac{1}{2}}}.{\left[ {1 + \dfrac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\dfrac{a}{b}}  - \sqrt {\dfrac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\dfrac{1}{2}}}\)bằng

Cho số thực \(a > 0\) và \(a \ne 1.\) Hãy rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {a^{\frac{5}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{7}{{12}}}} - {a^{\frac{{19}}{{12}}}}} \right)}}.\)

Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữa tỷ của biểu thức \(\sqrt[3]{{{a}^{5}}\sqrt[4]{a}}\) với \(a>0\).

Rút gọn biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}\) với \(a>0,\) ta được kết quả \(A={{a}^{\frac{m}{n}}},\) trong đó \(m,\,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho biểu thức \(P = \sqrt[5]{{{x^3}\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt x }}}}\) với \(x > 0.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho \(a>0,b>0\) và biểu thức \(T=2{{\left( a+b \right)}^{-1}}.{{\left( ab \right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left[ 1+\frac{1}{4}{{\left( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{1}{2}}}\). Khi đó:

Rút gọn biểu thức \(P=\sqrt{a.\sqrt[3]{{{a}^{2}}.\sqrt[4]{\frac{1}{a}}}}:\sqrt[24]{{{a}^{7}}},\ \ \left( a>0 \right)\) ta được biểu thức dạng \({{a}^{\frac{m}{n}}},\) trong đó \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, \(m,\ \ n\in {{N}^{*}}.\) Tính giá trị \({{m}^{2}}+{{n}^{2}}.\)