Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\) . Số thích hợp điền vào chỗ trống là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có \(\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{1 + x + 1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\( = \dfrac{2}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{2\left( {1 + {x^2}} \right) + 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\( = \dfrac{4}{{1 - {x^4}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{4\left( {1 + {x^4}} \right) + 4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\( = \dfrac{8}{{1 - {x^8}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{8\left( {1 + {x^8}} \right) + 8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} = \dfrac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\) .
Vậy số cần điền là \(16\) .
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Quy đồng mẫu thức lần lượt, sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) .
Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên.
