Cho \(0 < a \ne 1 + \sqrt 2 \) và các hàm \(f\left( x \right) = \dfrac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2}\), \(g\left( x \right) = \dfrac{{{a^x} - {a^{ - x}}}}{2}.\) Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

        1) ${f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right) = 1.$

        2) \(g\left( {2x} \right) = 2g\left( x \right)f\left( x \right).\)

        3) \(f\left( {g\left( 0 \right)} \right) = g\left( {f\left( 0 \right)} \right).\)

        4) \(g'\left( {2x} \right) = g'\left( x \right)f\left( x \right) - g\left( x \right)f'\left( x \right).\)

Ta có

$ \bullet {\rm{  }}{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{{{a^x} - {a^{ - x}}}}{2}} \right)^2} = 1$ hay khẳng đinh 1 đúng.

\( \bullet {\rm{  }}g\left( {2x} \right) = \dfrac{{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}}}{2} = \dfrac{{\left( {{a^x} - {a^{ - x}}} \right)\left( {{a^x} + {a^{ - x}}} \right)}}{2}\)\( = 2.\dfrac{{{a^x} - {a^{ - x}}}}{2}.\dfrac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2} = 2g\left( x \right).f\left( x \right)\)  hay khẳng đinh 2 đúng.

\( \bullet {\rm{  }}\left\{ \begin{array}{l}f\left( {g\left( 0 \right)} \right) = f\left( 0 \right) = 1.\\g\left( {f\left( 0 \right)} \right) = g\left( 1 \right) = \dfrac{{a - \dfrac{1}{a}}}{2} = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{2a}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( {g\left( 0 \right)} \right) \ne g\left( {f\left( 0 \right)} \right)\) hay khẳng định 3 sai.

\( \bullet {\rm{  }}\)Do \(g\left( {2x} \right) = 2g\left( x \right)f\left( x \right)\), lấy đạo hàm hai vế (để ý là \(\left[ {g\left( u \right)} \right]' = u'g'\left( u \right)\)), ta có:

\(\left[ {g\left( {2x} \right)} \right]' = 2\left[ {g'\left( x \right)f\left( x \right) + g\left( x \right)f'\left( x \right)} \right]\)\( \Leftrightarrow 2g'\left( {2x} \right) = 2\left[ {g'\left( x \right)f\left( x \right) + g\left( x \right)f'\left( x \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow g'\left( {2x} \right) = g'\left( x \right)f\left( x \right) + g\left( x \right)f'\left( x \right)\) hay khẳng định 4 sai.

Vậy có 2 khẳng định đúng.