Câu hỏi:
2 năm trước

Biết rằng \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a} \) với \(a \in R\). Khi đó giá trị của $a$ bằng:

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Đặt \({x^2} + 1 = t \Rightarrow 2xdx = dt \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

$I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}}dx}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{dt}}{t}}  = \dfrac{1}{2}\left. {\ln \left| t \right|} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2}\left( {\ln 2 - \ln 1} \right) $

$= \dfrac{1}{2}\ln 2 = \ln \sqrt 2  \Rightarrow a = \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)$

Hướng dẫn giải:

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Giải thích thêm:

Một số em khi tính được \(I = \dfrac{1}{2}\ln 2\) thì kết luận \(I = \dfrac{1}{2}\ln 2 = \ln {2^{\frac{1}{2}}} = \ln 4\) và chọn D là sai.

Câu hỏi khác