Câu hỏi:
2 năm trước
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \ln x\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {1;e} \right]\) tại \(x = {x_0}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {1;e} \right]\).
Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {\sqrt x } \right)'.\ln x + \sqrt x .\left( {\ln x} \right)'\)\( = \dfrac{{\ln x}}{{2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x }} = \dfrac{{\ln x + 2}}{{2\sqrt x }}\)
Suy ra \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \ln x + 2 = 0 \Leftrightarrow \ln x = - 2\)\( \Leftrightarrow x = {e^{ - 2}} = \dfrac{1}{{{e^2}}} \notin \left[ {1;e} \right]\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( e \right) = \sqrt e \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;e} \right]} f\left( x \right) = f\left( e \right) = \sqrt e \).
Do đó \(x_0=e\).
Hướng dẫn giải:
- Tính \(f'\left( x \right)\) và giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm \({x_i} \in \left[ {1;{e}} \right]\)
- Tính các giá trị \(f\left( 1 \right),f\left( {{e}} \right)\) và \(f\left( {{x_i}} \right)\).
- So sánh các kết quả tìm \(\max ,\min f\left( x \right)\) và kết luận.
