Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.c{\rm{os}}2xdx}  = a + b\pi \), với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\).     

Cho tích phân $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x} ,$ nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\{\rm{d}}v = g'\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì 

Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x} $ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

Cho $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ và thỏa mãn điều kiện $\int\limits_0^1 {g\left( x \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }\,{\rm{d}}x} .$

Biết \(\int\limits_2^{e + 1} {\dfrac{{\ln \left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx = a + b{e^{ - 1}}} \) với \(a,b \in \mathbb{Z}.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho \(\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f'\left( x \right)dx}  = 2019;\) \(4f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2020.\) Tính \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right)dx.} \)

Cho \(y = f\left( x \right)\) là một hàm số bất kỳ có đạo hàm trên \(\mathbb{R},\) đặt \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} .\) Khẳng đinh nào dưới đây đúng?

Biết rằng \(\int\limits_1^a {\ln xdx}  = 1 + 2a\,\,\left( {a > 1} \right)\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?