Câu hỏi:
2 năm trước
Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.c{\rm{os}}2xdx} = a + b\pi \), với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Đặt : \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{1}{2}.\sin 2x\end{array} \right.\)
Suy ra: $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.\cos xdx} = \left. {\left( {x.\dfrac{1}{2}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2x}}} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} $
$= \dfrac{\pi }{8} + \left. {\dfrac{1}{4}\cos 2x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\pi }{8}$
\( \Rightarrow a = - \dfrac{1}{4};b = \dfrac{1}{8} \Rightarrow S = a + 2b = 0\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)
