Tìm số nguyên a sao cho cả a - 2174 và a + 2174 đều là số lập phương.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $  x^{3} = a - 2174 ;(x + y)^{3} = a + 2174 (x; y \in Z; y > 0)$

$ => (x + y)^{3} - y^{3} = 4348$

$ <=> 3xy(x + y) + y^{3} = 4348 (1)$

- Nếu $ y = 3k$ ko TM $(1)$ vì $ 4348$ ko chia hết cho $3$

- Nếu $ y = 3k + 2$ ko TM$ (1)$ vì $ 4340$ ko chia hết cho $3$

- Xét $ y = 3k + 1$ thay vào $ (1)$

$ (1) <=> 3x(x + y) + y^{2} = \dfrac{4348}{y} = \dfrac{1.2^{2}.1087}{y} (2)$

$ (2) => $ Trong số các ước của $4378$ chỉ có 2 ước TM

$ y = 3k + 1 $ là $ y = 4 = 3.1 + 1; y = 4348 = 3.1449 + 1$

+ Nếu $: y = 4 $ thay vào $ (2)$

$ 3x(x + 4) + 16 = 1087$

$ <=> 3(x + 2)^{2} = 1083$

$ <=> (x + 2)^{2} = 361 <=> x + 2 = - 19; 19$

$ <=> x = - 21; x = 17 => a = - 7087; a = 7087$

+ Nếu $ y = 4348 $ thay vào $ (2)$

$ => 3x(x + 4348) + 4348^{2} = 1$

$ <=> 3(x + 2174)^{2} + 2174^{2} = 1 $ vô lý

KL $: a = - 7087; a = 7087$