Câu hỏi:
1 năm trước
Xác định dạng của tam giác $ABC$ biết rằng $S = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{36}}{\left( {a + b + c} \right)^2}$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Theo công thức He-rong ta có
$\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{9}{p^2} \Leftrightarrow \left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right) = \dfrac{1}{{27}}{p^3}$
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right) \le \dfrac{{{{\left( {p - a + p - b + p - c} \right)}^3}}}{{27}} = \dfrac{{{{\left( {3p - \left( {a + b + c} \right)} \right)}^3}}}{{27}} = \dfrac{{{{\left( {3p - 2p} \right)}^3}}}{{27}} = \dfrac{{{p^3}}}{{27}}$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Khi đó tam giác $ABC$ đều.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác, đẳng thức với vế phải $a + b + c$ liên tưởng tới công thức chứa nửa chu vi p.
