Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(MO = 3R\). Một đường kính \(AB\) thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = MA + MB\).

Gọi \(\widehat {MOA} = \alpha  \Rightarrow \widehat {MOB} = 180^\circ  - \alpha \).

Ta có \(MA = \sqrt {M{O^2} + A{O^2} - 2MO.AO.\cos \alpha }  = \sqrt {9{R^2} + {R^2} - 6{R^2}\cos \alpha }  = R\sqrt {10 - 6\cos \alpha } \).

\(MB = \sqrt {M{O^2} + B{O^2} - 2MO.BO.\cos \left( {180^\circ  - \alpha } \right)}  = \sqrt {9{R^2} + {R^2} + 6{R^2}\cos \alpha }  = R\sqrt {10 + 6\cos \alpha } \).

Xét \(C = \sqrt {10 - 6\cos \alpha }  + \sqrt {10 + 6\cos \alpha } \) \( \Rightarrow {C^2} = 20 + 2\sqrt {100 - 36{{\cos }^2}\alpha }  \ge 20 + 2\sqrt {100 - 36}  = 36\).

Suy ra \(C \ge 6\). Dấu  xẩy ra khi ${\cos ^2}\alpha  = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha  = 1\\\cos \alpha  =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  = 0^\circ \\\alpha  = 180^\circ \end{array} \right.$.

Ta có $S = MA + MB = R\left( {\sqrt {10 - 6\cos \alpha }  + \sqrt {10 + 6\cos \alpha } } \right) \ge 6R$.

Suy ra \(\min S = 6R\) khi và chỉ khỉ \(A\), \(O\), \(B\), \(M\) thẳng hàng.