Với \(n \in {N^*}\), ta xét các mệnh đề: $P:$“\({7^n} + 5\) chia hết cho $2$”; $Q:$ “\({7^n} + 5\) chia hết cho $3$” và $R:$ “\({7^n} + 5\) chia hết cho $6$”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
Trả lời bởi giáo viên
Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho $6$.
Thật vậy, với $n = 1$ ta có: \({7^1} + 5 = 12\,\, \vdots \,\,6\)
Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là \({7^k} + 5\) chia hết cho $6$, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$, nghĩa là phải chứng minh \({7^{k + 1}} + 5\) chia hết cho $6$.
Ta có: \({7^{k + 1}} + 5 = 7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\)
Theo giả thiết quy nạp ta có \({7^k} + 5\) chia hết cho $6$, và $30$ chia hết cho $6$ nên \(7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\) cũng chia hết cho $6$.
Do đó mệnh đề đúng với $n = k + 1$.
Vậy \({7^n} + 5\) chi hết cho $6$ với mọi \(n \in N^*\).
Mọi số chia hết cho $6$ đều chia hết cho $2$ và chia hết cho $3$.
Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho $6$.