Câu hỏi:
2 năm trước
Với \(n\) là số nguyên dương, đặt ${S_n} = \dfrac{1}{{1\sqrt 2 + 2\sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }}.$ Khi đó \(\lim {S_n}\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có \(\dfrac{1}{{n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }}\)\( = \dfrac{1}{{\sqrt n \sqrt {n + 1} \left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\sqrt n \sqrt {n + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\)
Suy ra
\({S_n} = \dfrac{1}{{1\sqrt 2 + 2\sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }}\)
\( = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\)
Suy ra \(\lim {S_n} = 1\)
Hướng dẫn giải:
Rút gọn tổng \({S_n}\) rồi tính giới hạn.
