Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) nào sau đây có giới hạn khác số \(1\) khi \(n\) dần đến vô cùng?

Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:

+) Đáp án A:           

\(\mathop {\lim }\limits_{} {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{} \dfrac{{{{\left( {2017 - n} \right)}^{2018}}}}{{n{{\left( {2018 - n} \right)}^{2017}}}} = \mathop {\lim }\limits_{} \left[ {\dfrac{{2017 - n}}{n}.{{\left( {\dfrac{{2017 - n}}{{2018 - n}}} \right)}^{2017}}} \right]\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{} \left[ {\left( {\dfrac{{2017}}{n} - 1} \right){{\left( {\dfrac{{\dfrac{{2017}}{n} - 1}}{{\dfrac{{2018}}{n} - 1}}} \right)}^{2017}}} \right] =  - 1\).

+) Đáp án B:

\(\mathop {\lim }\limits_{} {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{} n\left( {\sqrt {{n^2} + 2018}  - \sqrt {{n^2} + 2016} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{} \dfrac{{n\left( {{n^2} + 2018 - {n^2} - 2016} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 2018}  + \sqrt {{n^2} + 2016} }}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{} \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2018}  + \sqrt {{n^2} + 2016} }} = \mathop {\lim }\limits_{} \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{{2018}}{{{n^2}}}}  + \sqrt {1 + \dfrac{{2016}}{{{n^2}}}} }} = 1\).

+) Đáp án C:           

Ta có \({u_{n + 1}} - 1 = \dfrac{1}{2}\left( {{u_n} - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}{u_n} - 1 = \dfrac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} - 1} \right)\\{u_{n - 1}} - 1 = \dfrac{1}{2}\left( {{u_{n - 2}} - 1} \right)\\{u_{n - 2}} - 1 = \dfrac{1}{2}\left( {{u_{n - 3}} - 1} \right)\\...\\{u_2} - 1 = \dfrac{1}{2}\left( {{u_1} - 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {{u_n} - 1} \right)\left( {{u_{n - 1}} - 1} \right)\left( {{u_{n - 2}} - 1} \right)...\left( {{u_2} - 1} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} - 1} \right).\dfrac{1}{2}\left( {{u_{n - 2}} - 1} \right).\dfrac{1}{2}\left( {{u_{n - 3}} - 1} \right)...\dfrac{1}{2}\left( {{u_1} - 1} \right)\)

\( = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}\left( {{u_{n - 1}} - 1} \right)\left( {{u_{n - 2}} - 1} \right)...\left( {{u_2} - 1} \right)\left( {{u_1} - 1} \right)\)

\( \Rightarrow {u_n} - 1 = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}\left( {{u_1} - 1} \right)\)

\( \Rightarrow {u_n} = \dfrac{{2016}}{{{2^{n - 1}}}} + 1 \Leftrightarrow {u_n} = 4032.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n} + 1\)\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{} {u_n} = 1\).

Ở câu C, các em cũng có thể giả sử \(\lim {u_n} = a\) thì \({u_{n + 1}} \to a\) khi \(n \to \infty \), do đó ta có \(a = \dfrac{1}{2}\left( {a + 1} \right) \Leftrightarrow a = 1\)

+) Đáp án D:

Ta có \({u_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}} = 1 - \dfrac{1}{{n + 1}} = \dfrac{n}{{n + 1}}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{} {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{} \dfrac{n}{{n + 1}} = 1\).