Trong một cuộc thi chạy, vận động viên \({\rm{A}}\) xuất phát với gia tốc là \(a(t) = - \dfrac{1}{{64}}{t^3} + \dfrac{{{t^2}}}{4}\left( {m/{s^2}} \right)\). Biết kỷ lục về vận tốc sau \(5\;{\rm{s}}\) đầu của cuộc thi này là \(7,5(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})\). Chọn phát biểu đúng.

Vận tốc v(t) chính là nguyên hàm của gia tốc nên ta có:

\(v(t) = \int a (t)dt = \int {\left( { - \dfrac{1}{{64}}{t^3} + \dfrac{{{t^2}}}{4}} \right)} dt = \dfrac{{{t^4}}}{{256}} + \dfrac{{{t^3}}}{{12}} + C(m/s)\)

Tại thời điểm ban đầu \({t_0} = 0(s)\), vận động viên bắt đầu xuất phát nên khi đó \({v_0} = 0(m/s)\)

\( \Rightarrow v(0) = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{{{0^4}}}{{256}} + \dfrac{{{0^3}}}{{12}} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\)

Vậy công thức vận tốc là: \(v(t) = - \dfrac{{{t^4}}}{{256}} + \dfrac{{{t^3}}}{{12}}(m/s)\)

Vận tốc của vận động viên A sau 5 s là:

\(v(5) = - \dfrac{{{5^4}}}{{256}} + \dfrac{{{5^3}}}{{12}} \approx 7,98(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})\)

Vậy vận động viên \(A\) vượt kỷ lục cuộc thi với vận tốc sau 5 s đầu là \(7,98(\;{\rm{m}}/{\rm{s}})\)