Số nghiệm thuộc khoảng \(( - \pi ;\pi )\) của phương trình \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \) là:
Số nghiệm thuộc khoảng \(( - \pi ;\pi )\) của phương trình \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \) là:
Trả lời bởi giáo viên
Số nghiệm thuộc khoảng \(( - \pi ;\pi )\) của phương trình \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \) là:
\(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi ,\quad k \in \mathbb{Z}\)
Vì \(x \in ( - \pi ;\pi )\) nên ta có:
\( \Leftrightarrow \pi < \dfrac{\pi }{4} + k2\pi < \pi \)
\( \Leftrightarrow - \dfrac{{5\pi }}{4} < k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{4}\)
\( \Leftrightarrow - \dfrac{5}{8} < k < \dfrac{3}{8}\)
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\)
Vậy có 1 giá trị \(k\) thì sẽ có một nghiệm tương ứng thuộc khoảng \(( - \pi ;\pi )\).
Hướng dẫn giải:
Đưa về phương trình \(\sin x = a\).