Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hình vuông \(ABCD\) có diện tích bằng 10 và \(A \in d:x - y - 2 = 0,\,\,CD:3x - y = 0.\) Với \({x_C} > 0\), số điểm \(C\) tìm được là

\(A \in d:x - y - 2 = 0 \Rightarrow A\left( {t;t - 2} \right)\)

\(S = A{D^2} = 10 \Rightarrow AD = \sqrt {10} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {A,CD} \right) = AD = \dfrac{{\left| {3t - t + 2} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow \left| {2t + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {t + 1} \right| = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {4;2} \right)\\A\left( { - 6; - 8} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(A\left( {4;2} \right) \Rightarrow AD\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,A\left( {4;2} \right)\\ \bot CD:3x - y = 0\end{array} \right. \Rightarrow AD:x + 3y - 10 = 0\)

\(D = AD \cap CD \Rightarrow D:\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 10 = 0\\3x - y = 0\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {1;3} \right)\)

\(\begin{array}{l}C \in CD:3x - y = 0 \Rightarrow C\left( {c;3c} \right)\\CD = \sqrt {10}  \Rightarrow {\left( {c - 1} \right)^2} + {\left( {3c - 3} \right)^2} = 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( {2;6} \right)\\C\left( {0;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH2:\(A\left( { - 6; - 8} \right) \Rightarrow AD:x + 3y + 30 = 0\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow D\left( { - 3; - 9} \right)\\C\left( {c;3c} \right) \Rightarrow {\left( {c + 3} \right)^2} + {\left( {3c + 9} \right)^2} = 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c =  - 2\\c =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( { - 2; - 6} \right)\\C\left( { - 4; - 12} \right)\end{array} \right.\end{array}\).

Do \({x_C} > 0\) nên có 1 điểm C thỏa mãn bài toán.