Phương trình \(3\sin 3x + \sqrt 3 \cos 9x = 2\cos x + 4{\sin ^2}3x\) có bao số nghiệm trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) là:

\(3\sin 3x + \sqrt 3 \cos 9x = 2\cos x + 4{\sin ^2}3x\)

\( \Leftrightarrow 3\sin 3x - 4{\sin ^3}3x + \sqrt 3 \cos 9x = 2\cos x\)

\( \Leftrightarrow \sin 9x + \sqrt 3 \cos 9x = 2\cos x\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {9x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \cos x\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{9x - \dfrac{\pi }{6} = x + k2\pi }\\{9x - \dfrac{\pi }{6} = - x + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{{48}} + k\dfrac{\pi }{4}}\\{x = \dfrac{\pi }{{60}} + k\dfrac{\pi }{5}}\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Với \(x = \dfrac{\pi }{{48}} + k\dfrac{\pi }{4},x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Ta có: \(0 < \dfrac{\pi }{{48}} + k\dfrac{\pi }{4} < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{{48}} < k\dfrac{\pi }{4} < \dfrac{{23\pi }}{{48}}\)

\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{{23}}{{12}},\quad k \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow k \in \{ 0;1\} \) => có 2 giá trị của x trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right).\)

Với \({\rm{ }}x = \dfrac{\pi }{{60}} + k\dfrac{\pi }{5},x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Ta có: \(0 < \dfrac{\pi }{{60}} + k\dfrac{\pi }{5} < \dfrac{\pi }{2}\)

\( \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{{60}} < k\dfrac{\pi }{5} < \dfrac{{29\pi }}{{60}}\)

\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{{29}}{{12}},\quad k \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow k \in \{ 0;1;2\} \) => có 3 giá trị của x trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right).\)

Vậy tổng cộng có 5 giá trị của x trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right).\)