Cho bất phương trình: \(\dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} > 1.\) Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình trên là:

ĐKXĐ: \(x \ne  - 2\)

TH1: \(x + 2 > 0 \Leftrightarrow x >  - 2\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} - \dfrac{{x + 2}}{{x + 2}} > 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - \left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} > 0\end{array}\)

             \(\,\, \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| - \left( {x + 2} \right) > 0\)   (vì \(x + 2 > 0\))

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| > x + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 > x + 2\\x - 1 <  - x - 2\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 > 2\,\,\left( {{\mathop{\rm vô}\nolimits} \, lý } \right)\\2x <  - 1\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x <  - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(x >  - 2\)\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là \( - 2 < x <  - \dfrac{1}{2}\).

Trường hợp 2: \(x + 2 < 0 \Leftrightarrow x <  - 2\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} - \dfrac{{x + 2}}{{x + 2}} > 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - \left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} > 0\end{array}\)

            \( \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| - \left( {x + 2} \right) < 0\)    (vì \(x + 2 < 0\))

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| < x + 2\\ \Leftrightarrow  - x - 2 < x - 1 < x + 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x - 2 < x - 1\\x - 1 < x + 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x < 1\\0 < 3\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x >  - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(x <  - 2\), nghiệm của bất phương trình là \(x \in \emptyset \).

Kết hợp hai trường hợp ta được tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 2; - \dfrac{1}{2}} \right)\) .

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là \( - 1\).