Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {1;\;2} \right)\), \(B\left( {4;\; - 2} \right)\), \(C\left( { - 3;\;5} \right)\). Một véctơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc \(A\) là

Giải thích thêm:

Cách khác:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4;3} \right)\)

Đường thẳng AB đi qua A(1;2) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;3} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow AB:4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(4x + 3y - 10 = 0\)

Đường thẳng AC đi qua A(1;2) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {3;4} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow AC:3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(3x + 4y - 11 = 0\)

Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường phân giác góc A

\( \Leftrightarrow d\left( {M,AB} \right) = d\left( {M,AC} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {4x + 3y - 10} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| {3x + 4y - 11} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {4x + 3y - 10} \right| = \left| {3x + 4y - 11} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + 3y - 10 = 3x + 4y - 11\\4x + 3y - 10 =  - \left( {3x + 4y - 11} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\7x + 7y - 21 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\,\left( {{\Delta _1}} \right)\\x + y - 3 = 0\,\left( {{\Delta _2}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét \({\Delta _1}:x - y + 1 = 0\) và hai điểm \(B\left( {4; - 2} \right),C\left( { - 3;5} \right)\) ta thấy:

\(\left( {4 + 2 + 1} \right)\left( { - 3 - 5 + 1} \right) =  - 49 < 0\) nên hai điểm B, C nằm khác phía so với \({\Delta _1}\)

Do đó \({\Delta _1}\) là đường phân giác trong góc A và \({\Delta _2}\) là đường phân giác ngoài góc A.

Vậy \(\overrightarrow {{n_{{\Delta _1}}}}  = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = \left( {1;1} \right)\) là một VTCP của \({\Delta _1}\).