Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho $\Delta ABC$ có $A\left( {1;\;2} \right)$, $B\left( {4;\; - 2} \right)$, $C\left( { - 3;\;5} \right)$. Một véctơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc $A$ là

$\overrightarrow u = \left( {2;\;1} \right)$.

$\overrightarrow u = \left( {1;\; - 1} \right)$.

$\overrightarrow u = \left( {1;\;1} \right)$.

$\overrightarrow u = \left( {1;\;2} \right)$.

Xem đáp án

50 lượt xem

Đề kiểm tra giữa học kì 2 - Đề số 3 - MÔN TOÁN - Lớp 10. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;\; - 4} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 4;\;3} \right)$$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$, suy ra $\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$.

Do đó đường phân giác trong của góc $A$ cũng chính là đường trung tuyến của tam giác.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ khi đó $\overrightarrow {AM} $ là véctơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc $A$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{4 + \left( { - 3} \right)}}{2} = \dfrac{1}{2}\\{y_M} = \dfrac{{ - 2 + 5}}{2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};\;\dfrac{3}{2}} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AM} = \left( { - \dfrac{1}{2};\; - \dfrac{1}{2}} \right)$.

Vậy một véctơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc $A$ có dạng $\overrightarrow u = \left( {1;\;1} \right)$.

Hướng dẫn giải:

- Nhận xét tính chất của tam giác $ABC$.

- Nhận xét tính chất đường phân giác trong của góc $A$

Giải thích thêm:

Cách khác:

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 4;3} \right)$

Đường thẳng AB đi qua A(1;2) và nhận $\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {4;3} \right)$ làm VTPT

$ \Rightarrow AB:4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0$ hay $4x + 3y - 10 = 0$

Đường thẳng AC đi qua A(1;2) và nhận $\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {3;4} \right)$ làm VTPT

$ \Rightarrow AC:3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0$ hay $3x + 4y - 11 = 0$

Điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc đường phân giác góc A

$ \Leftrightarrow d\left( {M,AB} \right) = d\left( {M,AC} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {4x + 3y - 10} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| {3x + 4y - 11} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {4x + 3y - 10} \right| = \left| {3x + 4y - 11} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + 3y - 10 = 3x + 4y - 11\\4x + 3y - 10 = - \left( {3x + 4y - 11} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\7x + 7y - 21 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\,\left( {{\Delta _1}} \right)\\x + y - 3 = 0\,\left( {{\Delta _2}} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Xét ${\Delta _1}:x - y + 1 = 0$ và hai điểm $B\left( {4; - 2} \right),C\left( { - 3;5} \right)$ ta thấy:

$\left( {4 + 2 + 1} \right)\left( { - 3 - 5 + 1} \right) = - 49 < 0$ nên hai điểm B, C nằm khác phía so với ${\Delta _1}$

Do đó ${\Delta _1}$ là đường phân giác trong góc A và ${\Delta _2}$ là đường phân giác ngoài góc A.

Vậy $\overrightarrow {{n_{{\Delta _1}}}} = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \left( {1;1} \right)$ là một VTCP của ${\Delta _1}$.