Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và điểm $A\left( {5,4, - 2} \right)$. Phương trình mặt cầu đi qua điểm $A$ và có tâm là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $(Oxy)$ là
Trả lời bởi giáo viên
Giả sử $M$ là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}&{}\\{y = 1 + 2t}&{}\\{z = - 1 - t}&{}\end{array}} \right.\)
Ta có $M$ thuộc $d$ nên $M\left( {t,2t + 1, - t - 1} \right)$ .
Vì M thuộc $\left( {Oxy} \right):z = 0$ nên có $ - t - 1 = 0$ hay $t = - 1$, suy ra $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$.
Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$, bán kính \(MA = \sqrt {{{(5 + 1)}^2} + {{(4 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {65} \)
Hướng dẫn giải:
- Tìm tâm mặt cầu: Tọa độ giao điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng và mặt cầu.
- Tính bán kính mặt cầu, từ đó suy ra phương trình mặt cầu.