Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+2}{2}\) và điểm \(A\left( 3;2;0 \right).\) Điểm đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \(d\) có tọa độ là $A'(a;b;c)$. Tính $a+b+c$.
Đáp án:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
Bước 1: Tìm vecto chỉ phương và tham số hóa hình chiếu M của A lên d.
Ta có:
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\end{array} \right.;\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;\;2;\;2} \right)\)
Gọi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(d\) và \({A}'\) đối xứng \(A\) qua \(d.\)
Suy ra \(M\left( m-1;2m-3;2m-2 \right)\)
Bước 2: Biểu diễn \(\overrightarrow{AM}\) theo tham số và tìm điểm A'.
\(\overrightarrow{AM}=\left( m-4;2m-5;2m-2 \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow{AM}.{{\vec{u}}_{d}}=0\Rightarrow \left( m-4 \right)+2\left( 2m-5 \right)+2\left( 2m-2 \right)=0\Leftrightarrow 9m=18\Leftrightarrow m=2.\)
Vậy \(M\left( 1;1;2 \right)\) và \(M\) là trung điểm \(A{A}'\) nên \({A}'\left( -1;0;4 \right).\)
Vậy $a+b+c=3$
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm vecto chỉ phương và tham số hóa hình chiếu M của A lên d.
Bước 2: Biểu diễn \(\overrightarrow{AM}\) theo tham số và tìm điểm A'.
Sử dụng "Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích vô hướng của hai vecto chỉ phương của chúng bằng 0"