Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;1;-2 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{7}\).
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì \(d\left( I;\left( P \right) \right)\) nhỏ nhất.
Ta có \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+1-\left( -2 \right)-m \right|}{\sqrt{3}}=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow m=4\)
Hướng dẫn giải:
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì \(d\left( I;\left( P \right) \right)\) nhỏ nhất.