Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho cho điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 5y + 4z - 36 = 0\). Tọa độ hình chiếu \(H\) của \(A\) trên \(\left( P \right)\) là.
Trả lời bởi giáo viên
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 5;4} \right)\).
Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 5;4} \right)\).
Do đó \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\).
Khi đó tọa độ hình chiếu \(H\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\\2x - 5y + 4z - 36 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1; - 2;6} \right)\).
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình đường thẳng qua \(A\) và vuông góc \(\left( P \right)\).
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.