Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):3x+y+z-5=0$ và $\left( Q \right):x+2y+z-4=0.$ Khi đó, giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có phương trình là 

Ta có : $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;\ 1;\ 1 \right),\ \ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;\ 2;\ 1 \right).$

Gọi $d$ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$

Ta có $\left\{ \begin{align} & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \\ & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,{{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}};{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right]=$$\left( -\,1;-\,2;5 \right)$

Xét hệ $\left\{ \begin{align} & 3x+y+z-5=0 \\ & x+2y+z-4=0 \\ \end{align} \right.,$

Chọn $x = 0 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} y + z = 5\\ 2y + z = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} y = - \,1\\ z = 6 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0; - 1;6} \right) \in d.$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$