Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $A'\left( {\sqrt 3 ; - 1;1} \right)$, hai đỉnh $B,C$ thuộc trục $Oz$ và $AA' = 1$ ($C$ không trùng với $O$). Biết véc tơ $\overrightarrow u  = \left( {a;b;2} \right)$ với $a,b \in \mathbb{R}$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $A'C$. Tính $T = {a^2} + {b^2}$.

Phương trình $BC \equiv Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.$.

Mặt phẳng $\left( {AMM'A'} \right)$ đi qua $A'$ và vuông góc với $BC$ nên $\left( {AMM'A'} \right)$ đi qua $A'\left( {\sqrt 3 ; - 1;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$ làm VTPT hay $\left( {AMM'A'} \right):0\left( {x - \sqrt 3 } \right) + 0\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 1$.

$M = BC \cap \left( {AMM'A'} \right) \Rightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {0;0;1} \right)$

Mà $AA' = 1,A'M = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}}  = 2$ $\Rightarrow AM = \sqrt {A'{M^2} - A'{A^2}}  = \sqrt {{2^2} - {1^2}}  = \sqrt 3$.

Tam giác $ABC$ đều có độ dài đường cao $AM = \dfrac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3  \Rightarrow BC = 2$

Gọi $B\left( {0;0;m} \right),C\left( {0;0;n} \right)$ với $n \ne 0$ thì $BC = 2 \Leftrightarrow \left| {m - n} \right| = 2$ và $M\left( {0;0;1} \right)$ là trung điểm $BC \Leftrightarrow \dfrac{{m + n}}{2} = 1 \Leftrightarrow m + n = 2$.

Khi đó $m = 0,n = 2$ vì $n \ne 0$ hay $C\left( {0;0;2} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {A'C}  = \left( { - \sqrt 3 ;1;1} \right)$ hay $2\overrightarrow {AC'}  = \left( { - 2\sqrt 3 ;2;2} \right)$ là một VTCP của $A'C$.

Suy ra $a =  - 2\sqrt 3 ,b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 2\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} = 16$.