Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right)\) và \(B\left( { - 2;1; - 4} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 4\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng:

* Ta thấy \({z_A}.{z_B} < 0\) \( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow A'\left( {1; - 3; - 2} \right)\).

Khi đó \(P = \left| {AM - BN} \right| = \left| {A'M - BN} \right|\,\,\,\left( 1 \right)\).

Gọi \({A_1}\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {A'{A_1}}  = \overrightarrow {MN} \).

Do \(MN = 4\) \( \Rightarrow {A_1}\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(A'\) bán kính bằng 4.

Khi đó \(A'{A_1}NM\) là hình bình hành \( \Rightarrow A'M = {A_1}N\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow P = \left| {{A_1}N - BN} \right| \le {A_1}B\).

\( \Rightarrow {P_{\max }} = {A_1}B\) khi \({A_1},\,\,B,\,\,N\) thẳng hàng \(\left( {N = {A_1}B \cap \left( {Oxy} \right)} \right)\) và \({A_1}B\) lớn nhất khi \({A_1}\) ở vị trí \(\left( C \right)\) như hình vẽ.

Khi đó \({P_{\max }} = {A_1}{B_{\max }} = \sqrt {B{I^2} + I{A_1}^2} \).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BI = 2\\I{A_1} = IA' + A'{A_1} - 5 + 4 = 9\end{array} \right.\) .

\( \Rightarrow {P_{\max }} = \sqrt {{2^2} + {9^2}}  = \sqrt {85} \).

(Vị trí \(M,\,\,N\) để \({P_{\max }}\) như hình vẽ).