Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - z - 6 = 0\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\) là đường thẳng có phương trình:

* Nhận thấy \(I\left( {1;2; - 1} \right) \in d\) và cũng thuộc \(\left( P \right)\).

\( \Rightarrow d \cap \left( P \right) = I\left( {1;2; - 1} \right)\).

Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right) \Rightarrow I \in d'\).

* Lấy \(A\left( {2;3; - 3} \right) \in d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 2t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\).

Gọi \(H = \Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow H \in \Delta  \Rightarrow H\left( {2 + t;\,\,3 + 2t;\,\, - 3 - t} \right)\).

Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {2 + t} \right) + 2\left( {3 + 2t} \right) - \left( { - 3 - t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{5}{6}\).

\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{7}{6};\dfrac{4}{3}; - \dfrac{{13}}{6}} \right)\).

* \(d'\) là đường thẳng đi qua \(I\) và \(H\).

Ta có \(\overrightarrow {IH}  = \left( {\dfrac{1}{6}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{7}{6}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - 6\overrightarrow {IH}  = \left( { - 1;4;7} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d':\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{4} = \dfrac{{z + 1}}{7}\).