Câu hỏi:
2 năm trước

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;1),C(0;21;19) và mặt cầu (S):(x1)2+(y1)2+(z1)2=1. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng 3MA2+2MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ OM

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

+) Mặt cầu (S):(x1)2+(y1)2+(z1)2=1 có tâm J(1;1;1), bán kính R=1.

+) Tìm I

3IA+2IB+IC=0 6IA+2AB+AC=0 IA=2AB+AC6

A(0;1;1),B(3;0;1),C(0;21;19) IA(xI;1yI;1zI),AB(3;1;2), AC(0;20;20)

{xI=2.3+061yI=2.(1)+2061zI=2.(2)+(20)6 I(1;4;3)

+) Ta có:

3MA2+2MB2+MC2=3(MI+IA)2+2(MI+IB)2+(MI+IC)2=6MI2+3IA2+2IB2+IC2+2.MI.(3IA+2IB+IC)=6MI2+3IA2+2IB2+IC2+2.MI.0=6MI2+3IA2+2IB2+IC2

Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và  mặt cầu (S).

JI=(0;3;4) Tọa độ điểm M thuộc đoạn IJ có dạng (1;1+3t;14t),t[0;1]

Mặt khác M(S) (11)2+(1(1+3t))2+(1(14t))2=1

t2=125[t=15t=15(L)t=15M(1;85;15)OM=3105.

Hướng dẫn giải:

- Tìm tọa độ điểm I sao cho  3IA+2IB+IC=0.

- Biến đổi 3MA2+2MB2+MC2 qua dạng vecto và đánh giá giá trị nhỏ nhất của tổng.

Câu hỏi khác