Trong không gian cho hai tia $Ax,By$ chéo nhau sao cho $AB$ vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm $M,N$ lần lượt thay đổi trên $Ax,By$ sao cho độ dài đoạn $MN$ luôn bằng giá trị $c$ không đổi $(c~\le AB)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa $Ax,By$. Giá trị lớn nhất của $AM.BN$ là:
Trả lời bởi giáo viên
Ta có:
$\begin{array}{l}{c^2} = M{N^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right)^2} \\ = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {BN} ^2} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BN} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BN} \\ = A{M^2} + A{B^2} + B{N^2} + 2.0 + 2.0 + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BN} \\= A{M^2} + A{B^2} + B{N^2} - 2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \\ = A{B^2} + A{M^2} + B{N^2} - 2AM.BN.\cos \varphi \end{array}$
$ \ge A{B^2} + 2AM.BN - 2AM.BN\cos \varphi $
$ = A{B^2} + 2AM.BN.(1 - \cos \varphi {\rm{)}} $
$\Rightarrow AM.BN \le \dfrac{{{c^2} - A{B^2}}}{{2(1 - \cos \varphi )}}$
Vậy biểu thức $AM.BN$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{{{c^2} - A{B^2}}}{{2(1 - \cos \varphi )}}$
Hướng dẫn giải:
Biến đổi ${\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right)^2}$ và đánh giá biểu thức $AM.BN$