Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

Đáp án A : Nếu tứ giác là hình thang cân thì nó có hai đường chéo bằng nhau.

Đây là mệnh đề đúng.

Đáp án B : Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho $6$ và $4$ thì nó chia hết cho $24$.

Đây là mệnh đề sai, chẳng hạn số $n = 12$.

Đáp án C : Nếu $n$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì ${n^2} + 20$ là một hợp số.

Mệnh đề đúng vì nếu $n$ nguyên tố lớn hơn $3$ thì $n$ chia cho $3$ dư $1$ hoặc $2$.

+ TH1 : $n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} + 20 = {\left( {3k + 1} \right)^2} + 20$ $= 9{k^2} + 6k + 21 \vdots 3$

+ TH2 : $n = 3k + 2 \Rightarrow {n^2} + 20 = {\left( {3k + 2} \right)^2} + 20$ $= 9{k^2} + 12k + 24 \vdots 3$

Do đó ta luôn có ${n^2} + 20$ là hợp số.

Đáp án D : Nếu $n$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì ${n^2} - 1$ chia hết cho $24$.

Mệnh đề đúng vì nếu $n$ nguyên tố lớn hơn $3$ thì $n$ chia cho $3$ dư $1$ hoặc $2$.

+ TH1 : $n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {3k + 1} \right)^2} - 1$ $= 9{k^2} + 6k = 3k\left( {3k + 2} \right) \vdots 3$

+ TH2 : $n = 3k + 2 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {3k + 2} \right)^2} - 1$ $= 9{k^2} + 12k + 3 = 3\left( {3{k^2} + 4k + 1} \right) \vdots 3$

Do đó ta luôn có ${n^2} - 1 \vdots 3$

Ngoài ra $n$ nguyên tố lớn hơn $3$ nên $n$ lẻ, do đó :

$n = 2m + 1 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 1$ $= 4{m^2} + 4m = 4m\left( {m + 1} \right) \vdots \left( {4.2} \right) = 8$

Vậy ${n^2} - 1 \vdots \left( {3.8} \right) = 24$

Vậy các mệnh đề A, C, D đều đúng.