Câu hỏi:
2 năm trước
Tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) của phương trình \(2\sqrt 3 {\cos ^2}\dfrac{{5x}}{2} + \sin 5x = 1 + \sqrt 3 \) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
\(\begin{array}{l}2\sqrt 3 {\cos ^2}\dfrac{{5x}}{2} + \sin 5x = 1 + \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {1 + \cos 5x} \right) + \sin 5x = 1 + \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 5x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin 5x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos 5x\sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\5x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\\x = \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Với họ nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), ta được
$\begin{array}{l}0 \le - \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\,\, \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le - \dfrac{1}{{30}} + \dfrac{{2k}}{5}\,\, \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{12}} \le k \le \dfrac{4}{3}\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow k = 1\\ \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{{11\pi }}{{30}}\end{array}$
Với họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), ta được:
$\begin{array}{l}0 \le \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\,\,\, \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{{2k}}{5}\,\, \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{4} \le k \le 1\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{10}}\\x = \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\end{array}$
Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) là: $\dfrac{{11\pi }}{{30}} + \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{29\pi }}{{30}}$
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\) để biến đổi phương trình đã cho thành phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\).
- Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) để giải phương trình.
- Tìm các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) và tính tổng.
