Tính \(OI\)  theo \(R\) và \(R'\)

Xét tam giác \(IOB\) có \(OB//O'D\left( {gt} \right)\)

 Áp dụng định lí Ta-let ta có \(\dfrac{{OI}}{{O'I}} = \dfrac{{OB}}{{O'D}} \Leftrightarrow \dfrac{{OI}}{{O'I}} = \dfrac{R}{{R'}}\)  mà \(O'I = OI - OO' = OI - \left( {OA + AO'} \right) = OI - \left( {R + R'} \right)\)

Nên \(\dfrac{{OI}}{{OI - \left( {R + R'} \right)}} = \dfrac{R}{{R'}}\) \( \Rightarrow OI.R' = R\left[ {OI - \left( {R + R'} \right)} \right]\) \( \Leftrightarrow OI.R - OI.R' = R\left( {R + R'} \right)\)

\( \Leftrightarrow OI\left( {R - R'} \right) = R\left( {R + R'} \right)\) \( \Leftrightarrow OI = \dfrac{{R\left( {R + R'} \right)}}{{R - R'}}\)