Tính $OI$  theo $R$ và $R'$

Xét tam giác $IOB$ có $OB//O'D\left( {gt} \right)$

 Áp dụng định lí Ta-let ta có $\dfrac{{OI}}{{O'I}} = \dfrac{{OB}}{{O'D}} \Leftrightarrow \dfrac{{OI}}{{O'I}} = \dfrac{R}{{R'}}$  mà $O'I = OI - OO' = OI - \left( {OA + AO'} \right) = OI - \left( {R + R'} \right)$

Nên $\dfrac{{OI}}{{OI - \left( {R + R'} \right)}} = \dfrac{R}{{R'}}$ $\Rightarrow OI.R' = R\left[ {OI - \left( {R + R'} \right)} \right]$ $\Leftrightarrow OI.R - OI.R' = R\left( {R + R'} \right)$

$\Leftrightarrow OI\left( {R - R'} \right) = R\left( {R + R'} \right)$ $\Leftrightarrow OI = \dfrac{{R\left( {R + R'} \right)}}{{R - R'}}$