Câu hỏi:
2 năm trước
Tính giới hạn: \(\lim \left[ {\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Cách 1:
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)\), \(n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}\).
Ta có:
\({u_2} = 1 - \dfrac{1}{{{2^2}}} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 1}}{{2.2}}\);
\({u_3} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right) = \dfrac{3}{4}.\dfrac{8}{9} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{{3 + 1}}{{2.3}}\);
\({u_4} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{4^2}}}} \right) = \dfrac{3}{4}.\dfrac{8}{9}.\dfrac{{15}}{{16}} = \dfrac{5}{8} = \dfrac{{4 + 1}}{{2.4}}\)
\( \cdots \cdots \)
\({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}\).
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}},\,\forall n \ge 2\)
Khi đó \(\lim \left[ {\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \lim \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \dfrac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Rút gọn biểu thức cần tính giới hạn và tính \(\lim \)
