Tính giới hạn của dãy số  ${u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n}$ với  \(\left| q \right| < 1\)              

Ta có: ${u_n} - q{u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n} - q.\left( {q + 2{q^2} + ... + n{q^n}} \right) $ $= q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n} - n{q^{n + 1}}$

Do \(q,\;{q^2},\;{q^3},.....,\;{q^n}\) là cấp số nhân có công bội \(q\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} - q{u_n} = \left( {1 - q} \right){u_n} = q.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} - n{q^{n + 1}}\\  \Rightarrow {u_n} = q.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}} - \dfrac{{n.{q^{n + 1}}}}{{1 - q}}.\end{array}\)

Do \(\left| q \right| < 1\)  nên  \(\mathop {\lim }\limits_{} {q^n} = \mathop {\lim }\limits_{} {q^{n + 1}} = 0\)

Suy ra  \(\lim {u_n} = \lim \left[ {\dfrac{{q\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}  - \dfrac{{n.{q^{n + 1}}}}{{1 - q}}} \right] = \dfrac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\).