Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất $1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x$.

Ta có: $1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x$

$\Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - {m^2}x - 1} \right) + \left( {{x^2} - mx - 1} \right)} \right]{.2^{ - \left( {{x^2} - mx - 1} \right)}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{\left( {{x^2} - {m^2}x - 1} \right) - \left( {{x^2} - mx - 1} \right)}} + {x^2} - {m^2}x - 1$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - {m^2}x - 1\\v = {x^2} - mx - 1\end{array} \right.$. Phương trình trở thành: $\left( {u + v} \right){.2^{ - v}} = v{.2^{u - v}} + u \Leftrightarrow u\left( {{2^{ - v}} - 1} \right) = v{2^{ - v}}\left( {{2^u} - 1} \right)$ (*)

+) Dễ dàng kiểm tra $u = 0$ hoặc $v = 0$ là nghiệm của (*)

+) Với $u,v \ne 0$, $\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{ - v}} - 1}}{{v{2^{ - v}}}} = \dfrac{{{2^u} - 1}}{u}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{2^u} - 1}}{u} = \dfrac{{1 - {2^v}}}{v}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{2^u} - 1}}{u} + \dfrac{{{2^v} - 1}}{v} = 0$

Xét hàm $f\left( t \right) = \frac{{{2^t} - 1}}{t}$ trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ ta thấy:

+) Với $t > 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{2^t} - 1 > 0\\t > 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow \frac{{{2^t} - 1}}{t} > 0$ $\Rightarrow f\left( t \right) > 0$.

+) Với $t < 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{2^t} - 1 < 0\\t < 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{2^t} - 1}}{t} > 0$ $\Rightarrow f\left( t \right) > 0$.

Do đó $f\left( t \right) > 0$ với mọi $t \ne 0$.

$\Rightarrow f\left( u \right) > 0,f\left( v \right) > 0,\forall u,v \ne 0$

$\Rightarrow f\left( u \right) + f\left( v \right) > 0,\forall u,v \ne 0$

$\Rightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} > 0,\forall u,v \ne 0$

Do đó phương trình $\frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} = 0$ vô nghiệm.

Vậy $\left[ \begin{array}{l}u = 0\\v = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left[ \begin{array}{l}{x^2} - {m^2}x - 1 = 0\,\,\,(1)\\{x^2} - mx - 1 = 0\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Hai phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt, tổng hai nghiệm ở mỗi phương trình là:

${S_1} = {m^2},\,{S_2} = m \Rightarrow S = {m^2} + m \ge  - \dfrac{1}{4}$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho nhỏ nhất là $- \dfrac{1}{4}$ khi $m =  - \dfrac{1}{2}$.