Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - mx + 1$ đồng biến trên $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right).$
Trả lời bởi giáo viên
Ta có $y = {x^3} - mx + 1 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y' = 3{x^2} - m$
+ Nếu \(m > 0\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = - \sqrt {\dfrac{m}{3}} ,{x_2} = \sqrt {\dfrac{m}{3}} \)
\(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - \sqrt {\dfrac{m}{3}} \\x > \sqrt {\dfrac{m}{3}} \end{array} \right.\) hay hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt {\dfrac{m}{3}} } \right)\) và \(\left( {\sqrt {\dfrac{m}{3}} ; + \infty } \right)\)
Do đó bài toán thỏa nếu $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right) \subset \left( {\sqrt {\dfrac{m}{3}} ; + \infty } \right)$ hay \(\sqrt {\dfrac{m}{3}} \le 1 \Leftrightarrow m \le 3\) \( \Rightarrow 0 < m \le 3\)
+ Nếu \(m \le 0\) thì \( - m \ge 0 \Rightarrow y' = 3{x^2} - m \ge 0\forall x\)
(Trong trường hợp $m=0$ thì $y'\ge 0$ với mọi $x$ và $y'=0$ tại điểm duy nhất $x=0$)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (cũng thỏa mãn đồng biến trên $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right)$)
Kết hợp các TH trên ta được \(m \le 3\).
Hướng dẫn giải:
Tính đạo hàm, áp dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng