Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m + 7} \right)x + m - 5$ có hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt {74}$.

Ta có: $y' = {x^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - m + 7$.

Điều kiện bài toán tương đương tìm $m$ để phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 74$.

+) Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt ${x_1},{x_2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - m + 7} \right) > 0\\2\left( {2m - 1} \right) > 0\\{m^2} - m + 7 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} - 3m - 6 > 0\\2m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\m > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2$

Khi đó:

$\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 74 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 74\\ \Rightarrow 4{\left( {2m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - m + 7} \right) = 74\\ \Leftrightarrow 4\left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) - 2{m^2} + 2m - 14 - 74 = 0\\ \Leftrightarrow 14{m^2} - 14m - 84 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $m = 3$.