Tìm tất cả các giá trị của $m$  để phương trình $\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right| = {m^2} - 2$ có hai nghiệm phân biệt.

Ta có $y = \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l} - 2x\,\,\,\left( {x <  - 1} \right)\\2\,\,\,\,\,\,\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\\2x\,\,\,\,\left( {x \ge 1} \right)\end{array} \right.$ và có đồ thị chính là phần đường thẳng màu xanh như sau:

Đường thẳng $d:\,\,y = {m^2} - 2$ song song với trục hoành.

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x\,\,\,\left( {x <  - 1} \right)\\2\,\,\,\,\,\,\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\\2x\,\,\,\,\left( {x \ge 1} \right)\end{array} \right.$ và đường thẳng $d:\,\,y = {m^2} - 2$.

Nhìn vào đồ thị ta thấy đường thẳng $y=m^2-2$ chỉ cắt đồ thị hàm số (đường màu xanh) tại $2$ điểm phân biệt khi $m^2-2>2$

Hay phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi ${m^2} - 2 > 2 \Rightarrow {m^2} > 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 2\\m > 2\end{array} \right.$.