Tìm tập hợp tất cả các giá trị của$m$ để đồ thị hàm số$y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - mx - 3m} }}$ có đúng hai tiệm cận đứng.

Chọn $m = 2,$ khi đó hàm số trở thành $y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 6} }}$

Rõ ràng $1 + \sqrt {x + 1}  > 0{\mkern 1mu} ,\forall x \ge  - 1$

Khi đó để hàm số$y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - mx - 3m} }}$ có hai tiệm cận đứng thì phương trình ${x^2} - mx - 3m = 0$ cần có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ { - 1; + \infty } \right)$ .

Gọi hai nghiệm phân biệt là \({x_1}\) và \({x_2}\).

Khi đó ta phải có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta  > 0}\\{{x_1},{x_2} \ge  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( { - m} \right)}^2} - 4\left( { - 3m} \right) > 0}\\{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} + 12m > 0}\\{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)}\\{-3m + m + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)}\\{m \le  \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m \in \left( {0; \dfrac{1}{2} } \right]\)