Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2m{x^2} + 4mx + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có: $y' = {x^2} - 4mx + 4m$.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 4m \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 4m\left( {x - 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow 4m\left( {x - 1} \right) \geqslant {x^2} \Leftrightarrow 4m \leqslant \dfrac{{{x^2}}}{{x- 1}}$ (vì $ - 2 < x < 0$)
Xét hàm $g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ trên $\left( { - 2;0} \right)$ ta có:
$g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\x = 2 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$
Do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 2;0} \right)$
Suy ra \(g\left( { - 2} \right) < g\left( x \right) < g\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) hay \( - \dfrac{4}{3} < g\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)
Khi đó \(4m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow 4m \le - \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m \le - \dfrac{1}{3}\)
Vậy $m \leqslant - \dfrac{1}{3}$
Hướng dẫn giải:
- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên $D$:
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in D$.
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in D$.
- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.
Chú ý: Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:
- Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D$ hoặc $m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D$.
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = g\left( x \right)$ trên $D$.
- Kết luận: Đánh giá $g(x)$ suy ra giá trị của $m$
- Bước 3: Kết luận.
Giải thích thêm:
HS thường nhầm lẫn ở bước kết luận giá trị cần tìm của $m$, khi tìm được $g\left( x \right) > g\left( { - 2} \right) = - \dfrac{4}{3}; g\left( x \right) < g\left( 0 \right) = 0$, nhiều em vội vàng kết luận $m \leqslant - \dfrac{4}{3}$ dẫn đến chọn nhầm đáp án C, một số em khác thì nhớ sai điều kiện, cho rằng $4m \leqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant 0$ và chọn nhầm đáp án D.
Câu hỏi khác
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 5 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 2 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 1 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 3 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra giữa học kì 2 đề số 2 Toán 12 có lời giải chi tiết
