Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ cắt đường thẳng $y = m\left( {x - 1} \right)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2},{x_3}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 5$.

Phương trình hoành độ giao điểm:

${x^3} - 3{x^2} + 2 = m\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 - m} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = 1 \hfill \\  {x^2} - 2x - 2 - m = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình hoành độ có 3 nghiệm phân biệt

$ \Leftrightarrow \left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  \Delta ' = 1 + 2 + m > 0 \hfill \\  1 - 2 - 2 - m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow m >  - 3$

Gọi ${x_1} = 1,{x_2},{x_3}$ lần lượt là nghiệm của phương trình $\left( * \right) \Rightarrow {x_2} + {x_3} = 2;{x_2}{x_3} =  - 2 - m$

Ta có: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_3}} \right)^2} - 2{x_2}{x_3} = 4 $ 

$\Leftrightarrow 4 - 2\left( { - 2 - m} \right) = 4 \Leftrightarrow m =  - 2$