Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Trả lời bởi giáo viên
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\)$\left( {a = m;b = - 2\left( {m - 2} \right);c = 3\left( {m - 2} \right)} \right)$
Ta có $\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - 3m\left( {m - 2} \right) = - 2{m^2} + 2m + 4 = \left( {4 - 2m} \right)\left( {m + 1} \right)$; $P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m}$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {4 - 2m} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\\\dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m} > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 1 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow - 1 < m < 0$
Vậy $ - 1 < m < 0$ là giá trị cần tìm.
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó phương trình có hai nghiệm cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\).
